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Abstract
摘要：本文介绍了机械模态分析的基本理论，通过理论推导得到机械的激励和响应的传递函数。同时依据理论推导结果，介绍了通过实验分析风机模态参数的基本流程和操作方法。为风机的平稳运行提供理论和实验支持。
关键词：风机；模态分析；传递函数
中图分类号：TH43 文献标志码：A
Fan Modal Analysis Theory Basis and Experimental Research
Abstract: This paper introduces the fundamental theory of mechanical modal analysis. According to the theoretical derivation, the transfer function of the response and the excitation is obtained. Meanwhile, according to the theory derivation result, this paper describes the basic process and operating method of analyzing the fan modal parameters through experiment. It has provided theory and experimental support for the stability of fans.
Key words: fan; modal analysis; transfer function
0 引言
模态分析是研究结构动力特性的一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。
模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模态分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。通常，理论计算和实验研究都是相互补充和相互促进。有限元计算确定计算结构的动力学模型，然后使用实验确定特征参数等，在动力学模型的基础上可以计算整个结构对激励的响应，以及进行结构动力学优化修改。
风机作为现代工业必不可少的设备，其经常会出现振动超标的问题。导致风机振动超标的因素也有很多。在正常工作时受到外界的各种激励，风机叶片的不平衡量会产生不平衡作用力，风机叶片会受到气流的激振力。在各种激励力作用下，为保证风机的平稳运行，除了转子的良好平衡尽量降低外界激励力外，还要深入研究风机的固有频率，以避免在运转过程中引起系统共振。研究风机的固有频率需要用到模态分析的方法。风机在设计阶段应用了先进的软件技术对风机系统进行计算，尽量避开这个特征频率。然而，理论计算都会有一些简化和一些特征参数也会采取一些假设和经验值，实际风机在加工和装配过程中也都存在一定的误差，计算值和实际值尚有不少的差距。在产品生产出来后有必要进行试验模态分析。
试验模态分析实质上是一个复杂的计算机辅助试验，试验中将采集的输入和输出信号经过参数识别获得模态参数。本文首先介绍一些模态分析的理论基础以及模态试验分析的具体方法。
1 模态分析理论基础
1.1 无阻尼的情况
实际的机械结构在计算的过程中常常会被简化成多自由度系统。该系统为线性时不变系统。多自由度振动系统可以写成如下的耦合方程形式，可以用矩阵来表示如下：
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上式中X为系统每个自由度的位移向量，对应着系统的各个自由度，M为系统的质量矩阵，C为系统的阻尼阵，K为系统的刚度矩阵，F(t)为系统所受的外力。
为了求解方便，首先考虑没有阻尼的特殊情况（C=0）。
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| 设X=ψest,s=jω 为了求解上式，考虑外力为0时的自由振动齐次解。得到特征方程： |
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由特征方程可以求得特征值（固有频率），与固有频率一一对应可以求得满足式（1）等于0的{ψ1}，{ψ2}，……{ψn}，值，即为求得的特征向量。
振动模态之间有正交性，可以证明：
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{ψr}T[M]{ψs}=0 (2)
其中r≠s,同样也可以证明：
{ψr}T[Ｋ]{ψs}=0 (３)
其中r≠s
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对于该运动方程式的解，其位移量为n时，可以表示为互相独立的n组振动模态的线性组合方程。位移向量在频域中的解为:
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｛Ｘ｝＝γ１{ψ１}＋γ２{ψ２}＋…＋γn{ψn}=∑nr=1 γr{ψr} （４）
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其中rn是取决于r阶振动模态的量。
将式（4）带入式（1）然后左乘以s阶振动模态{ψs}T得：
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左边的X为机械结构上各点的振动情况，右边表示各个振动模态的mr，kr，ωr以及{ψr}的组合，这就是模态叠加原理，是模态分析的理论基础。mr，kr，ωr称为模态参数。
1.2 非比例粘性阻尼的情况
对于机械结构，一般存在与速度成正比的粘性阻尼的情况，以下考虑非比例粘性阻尼。非比例粘性阻尼的运动方程式为：
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由其解确定特征值和特征向量，此时的特征值即极点p存在2n个，考虑共轭项，可表示为：
此外，特征向量表示为矩阵形式：
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进一步可得 ［Λ］＝－［a］-1［b］
与无阻尼的表示方法相同，物理坐标系可以用特征向量的线性组合表示。
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其中z为模态坐标系，代入上面的方程,可以得到系统对外力的位移响应函数关系式：
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必须指明：振动模态为复数。
机械个点对外力的响应都可以表示为固有频率，振动模态等模态参数表征的各振动模态的叠加。故以机械作为对象进行振动分析时，应求得模态参数。为了求得模态参数，认为在机械上加激振力同时测量机械的响应，来进行模态分析。由此计算位移-力的所谓柔度频响传递函数，最终求得固有频率、振动模态等。因此实验模态分析主要是通过实验来测量传递函数。
根据前面理论分析中得到的公式可以得到在j点作用外力与i点的响应之间的关系表示为位移—力的传递函数形式，其表达式可以写为： |
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从理论分析的结果可以看出，分母中与激振点j，与响应点i无关，仅与频率和阻尼比有关。无论在机械的哪一点测量，得到的传递函数其分母值均应相同。式中的分子则取决于模态质量，激振点以及响应点的振动模态值的大小。
由上述公式可知，为了直接求出i，j点之间的传递函数，仅在j点激振，而不在其它点激振，若测量i点响应，则求得Hij=Xi/Fj。从理论公式可以看出，若仅求固有频率和阻尼比，只要一个传递函数就足够。
为了求振动模态只要测定传递函数矩阵的一行或者一列，或者与其对应的Hij即可。一旦振动模态求出之后，将各振动模态分量相乘，便可以计算出传递函数矩阵的全部分量，则可掌握机械对象的动特征。
本文所介绍的研究方法是基于以上的模态分析理论，主要手段是在以力锤或者其他的激励手段激振机械的同时，测量结构的响应，从而求得随频率变化的传递函数。将这种方法应用于风机上，以全面了解风机的振动性能。
2 模态试验
2.1 模态测试的装置
模态测试系统通常需要一个测试材料、激振器、传感器、信号放大器、功率放大器及低噪声数据线,见图1～图3。
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本文中的测试材料为风机和冷却塔。使用力锤激振和加速度传感器采集加速度振动信号。使用软件处理实验数据，并最终总结试验结果，整理实验报告。
实验器材如图4和图5。 |
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2.2 实验流程（见图6）
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2.3 风叶模态参数的测试
1) 风叶径向方向分成六个等份，沿周向三等份共28个测点，见图7。 |
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2) 测试前完成软件中的叶片模型建立。
3) 在试验叶片上安装一个单向的加速度传感器，作为测振的响应。
4) 用力锤（力传感器）分别依次敲击各测点，根据模态试验流程进行试验。
2.4 实验结果
2.4.1 风叶的频率阻尼，振型动画模态试验最终能得出模态参数，提供各阶的振动频率和各阶的阻尼比例（见表1和图8）。
表 1 风叶的固有频率和阻尼
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阶数
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频率/Hz
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阻尼/(%)
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1
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24.50
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13.33
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2
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37.62
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3.85
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3
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51.00
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6.67
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4
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73.75
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1.29
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2.4.2 实验测试冷却塔的频率阻尼和振型（见表2和图9）。
表 2 冷却塔的频率和阻尼
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阶数
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频率/Hz
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阻尼/(%)
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1
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7.94
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0.47
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2
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19.00
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1.06
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3
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32.00
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0.59
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4
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48.92
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0.66
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3 总结
所有风机结构都具有各自的固有频率和模态振型，这些特性取决于确定结构的结构质量和刚度分布。理解模态振型和结构如何振动，有助于设计更优的结构，当有外力激励结构时，也有助于预测结构会如何响应。这些计算对于降低噪声和振动方面有积极的作用，也对维持机器的可靠运转提供有力保障。
实验模态分析是进行机械结构振动特征参数识别的有效的实验方法，能够通过激励机械结构，采集结构响应得到实际结构的模态参数。实验的结果是对实际理论模型的一个极大的补充。在掌握了有关振动的基本理论后，通过对软件及采集设备的进一步学习，就可以通过实验测试。
在风机制造领域，通过实验测试出风机的固有频率和振型，能够预测风机正常工作时在各种激励的作用下是否会发生共振，从而通过更改结构有效地避开共振峰，以维持风机的稳定运转。
参 考 文 献
[1] 大久保信行. 机械模态分析[M].上海交通大学出版社，1984:55.
[2] 南京安正软件工程有限责任公司. 振动及动态信号采集分析系统[M].2010:42.
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