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摘要：根据主动磁力轴承(AMB)的技术特点，应用转子动力学理论，采用国际通用的美国石油学会（API）关于转子稳定性的分析方法和评价准则，对磁力轴承-转子系统的无阻尼横向临界转速、有阻尼的不平衡响应和转子系统的稳定性等技术特点进行技术分析，说明了该类转子的动力学特点和稳定性研究的方法。
关键词：主动磁力轴承；转子动力学；临界转速；不平衡响应；稳定性分析
中图分类号：TH452 文献标志码：A
Analysis of Active Magnetic Bearing-Rotor System Stability
Abstract: According the technical traits of active magnetic bearing (AMB), based on rotor dynamics theory, complying with referenced American Petrochemical Institute (API) Standard for rotor stability analysis and judgment guidance, this paper has analyzed the technical characteristics of AMB-rotor system including undamped critical speeds, damped unbalanced response and rotor stability. The characteristic of the rotor dynamics and the way for stability research are illustrated.
Key words: active magnetic bearing; rotor dynamics; critical speed; unbalance response; stability analysis
1 概述
与常规使用的油润滑类轴承相比，主动磁力轴承（AMB）在精密加工、高速、高(低)温及真空（或洁净）环境下应用已经体现出较大优势，在精密机床、透平机械、航天设备、医疗器械、电子材料加工等高技术领域的应用不断拓展［1］ 。如图1所示，主动磁力轴承包括磁力轴承、传感器、控制器、功率放大器等，是一种典型的自调节型控制回路：由传感器检测转子位置并反馈到控制器，再由控制器发出控制指令，由功率放大器和磁力轴承实现：用电磁力维持或调整转子的位置，使转子能平稳运转。
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转子动力学主要研究转子-支承系统在旋转状态下的振动、平衡和稳定性问题［2］ ，尤其是研究接近或超过临界转速运转状态下转子的横向振动问题，通过对转子-支撑系统特性的研究和调整，使转子能平稳工作。在目前实际工程应用中，透平机械广泛采用的转子动力学分析方法、并为买卖各方所接受的导则是美国石油学会（American Petroleum Institute, 以下简称API ）相关标准［3］ 。
本文以主动磁力轴承-转子系统为对象，应用转子动力学理论，按照API标准中有关转子稳定性的判定导则，分析主动磁力轴承支撑转子的一些稳定性技术。
2 横向临界转速分析
按照经典运动力学理论，影响转子振动的主要原因为转子偏心质量、转子涡动和陀螺力矩三大类因素的综合影响［2］ 。三种因素分别对转子的影响特点如下：
1） 由转子偏心质量引起转子振幅的数学模型为：
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A=eω2/(ωn2-ω2) (1)
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这种振动的频率和转子转速ω同步，转速从低速到高速的升速过程中，振幅由小到大，在临界转速ωn处达到最大值，然后逐渐减小，当转速远远大于其临界转速，转子质心与转动中心接近重合，即转子高速旋转下的“自动对中”现象。
2） 转子涡动是指在转子的一侧受到一个横向冲击，在转子弹性恢复力作用下的振动，其位移Z的运动微分方程数学模型为：
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其振动频率是转子的自振频率，因为冲击载荷种类不同，可能是正进动或反进动，振动轨迹可能是椭圆、圆或直线简谐运动。
3） 陀螺力矩是转子转动惯量的方向不断变化引起的力矩。考虑这个力矩后，求解转子运动微分方程的特征值。该方程比较复杂，有多个特征值，即转子有多个临界转速。例如：转子的一阶弯曲临界转速在陀螺力矩作用下表现为一阶正进动和一阶反进动，工程应用中常把其正进动的临界转速作为需要避开的一阶弯曲临界转速。
实际运行转子的振动是以上各种因素综合作用的结果，目前广泛采用了有限元分析方法（FEA）进行转子动力学分析。这种方法是将以上各控制方程离散化，输入已知边界条件，联立方程组，通过求解划分微小单元节点上的值来求解以上各因素综合作用下的转子动力学结果。
按照API标准的相关要求［3］ ，在进行实际有阻尼横向临界转速分析前，首先要给出转子无阻尼状态下的临界转速-支撑刚度图，以确定转子自身的动力学特性及其与支撑刚度的关系，为阻尼转子特性的分析和调整提供参考信息和依据。
采用主动磁力轴承的某一透平机械转子的无阻尼临界转速-支撑刚度参考图见图2。
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图 2 无阻尼转子的临界转速 - 支撑刚度参考图
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图2中，该转子操作转速范围内的转动频率为0～538Hz，以该图为例对主动磁力轴承支撑的转子系统做以下几点分析说明：
1） 该转子的临界转速是指横向临界转速，不涉及扭振和轴向振动。其中的一阶和二阶正进动和反进动均为刚体型振动，其对应的模态振型分别为柱型一阶刚性振动（Translatory first rigid）和锥型二阶刚性振动（Conical rocking second rigid）；一阶弯曲临界转速为转子的弹性振动，其模态振型为一阶弯曲振型（First bending）。以上各阶振动均包括正进动和反进动，它们对转子稳定性的影响将在本文第2节分析和判定，并在第4节应用实例计算。
2） 轴承刚度对各阶临界转速的影响。如图2所示，在磁力轴承刚度范围内，增加轴承的刚度对增加转子的刚体型振动的临界转速增加较为明显，而对转子的弯曲型振动的临界转速改变很小。有相关资料对磁力轴承的特性进行了研究，其结论与上图所示的趋势也一致［4］ 。其实，轴承刚度对转子临界转速的影响是轴承刚度与转子自身质量、外形等特性相互联系的系统，就目前通常能达到的磁强度下，增加磁力轴承作用面积能增加轴承刚度，但轴承一般又受安装空间限制；另一方面，改变磁力轴承的控制参数也可以改变轴承刚度，但如果轴承的刚度调节比例过大，易出现“磁饱和”现象，即转子的微小振动已达到磁力轴承的刚度极限，磁力轴承对转子的更大位移的回调力不再增大，对转子的稳定性易出现不利影响，这方面的论述可参考有关资料论述［5-6］ 。实践中看：对相同型号的透平机械，采用的磁力轴承刚度［6］一般小于油膜动压轴承的刚度［7］ 。
3） 磁力轴承不具备像油膜那样的“粘滞”阻尼作用［8］ ，这一方面大大降低了轴承能耗，但另一方面却不利于转子振动的衰减，对转子的稳定性有影响，这也是本文第3节要阐述的内容之一。
3 转子不平衡响应分析
按照API相关规定［3］ ，通过转子阻尼状态下的不平衡响应分析，来确定转子的各阶临界转速、各阶临界转速的放大系数AF和转速隔离裕度SM，进而判断转子的运行稳定性。不平衡响应分析应参考无阻尼状态下转子的各阶振型，并对其在0到1.25倍跳闸转速范围内的各阶临界转速进行分析。
对每阶临界转速，其放大系数：
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式中：Nc为临界转速，N1和N2分别为该临界转速下最大矢量振幅的0.5倍（标量数值的0.707倍）处所对应的左侧转速和右侧转速（转子振动响应图见图3）。可见，AF值越大，其在该临界转速下振幅变化越快、越大，共振效应越清晰。
不平衡响应分析的方法是，在转子上附加一个不平衡质量，该加载的不平衡量一般为转子最大允许残余不平衡量的4倍，也就是对转子的实际不平衡量放大4倍后的振动进行分析和验证。该不平衡质量应根据已确定的转子无阻尼振型，加载在能对转子振动产生较大作用的部位。实际工作中根据转子不平衡验证试验工作的方便和可行性，一般把不平衡质量加载在转子端部，实际运行转子后得到清晰放大的转子不平衡响应曲线的验证曲线，通过该验证曲线可以对转子的理论临界转速进行修正或确认，就很接近实际情况了。
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图3为某一磁力轴承支撑转子的一阶弯曲振型的不平衡响应曲线。从该图看出，由于没有常规油膜轴承对转子振动的阻尼和衰减作用，其临界转速表现的更为清晰、明显，式3中的放大系数AF比类似情况下采用油膜轴承转子的放大系数较大，也就是磁力轴承对刚性转子的不平衡更敏感；也可以看到，下图中磁力轴承采用同步过滤器补偿后的临界转速振幅小一些，对消减振动起到一定作用。
当转子超过一阶弯曲临界转速，在很高的转速下工作，其“自动对中”特性就明显，这种情况下如果转子的形心线与质心线不重合，油膜轴承继续“强迫”转子绕其形心旋转的作用较强，对转子稳定运行不利；磁力轴承就可以通过控制系统调整，适应转子绕其质心旋转，这样转子在长期运转后即使有局部结焦或磨损等产生新的不平衡质量，磁力轴承-转子系统也可自动调心，正常运转。
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4 转子的稳定性分析
转子的稳定性分析是考虑当转子受到某一瞬时横向冲击载荷，如气流扰动冲击、油膜震荡等，转子系统在轴系阻尼作用下恢复稳定运行的能力。API617中对转子的稳定性分析和判别标准有详细描述，规定除最大连续转速在其一阶临界转速以下的转子外，其它转子都应做稳定性分析，包括水平Ⅰ和水平Ⅱ稳定性分析等，简而言之，其基本思想是采用对数衰减率δf来判别［3］ ，即转子的某一振动强度与相邻下一周期的振动强度之比、再取对数来衡量。显然，如果转子的振动越来越强烈，前一周期振动强度比后一周期振动强度小，两者之比小于1，其对数值则小于0，振动有增大趋势，转子不稳定；如果两者之比等于1，其对数值则等于0，振动应没有衰减的持续下去，也不稳定；相反，其对数衰减率大于0就有衰减的趋势，API标准要求的对数衰减率应大于0.1，即每个振动周期的强度要小于相邻上一振动强度的约80%，才认为转子是稳定的。
本文第1节和第2节中提及，磁力轴承对来自转子的瞬态振动的阻尼和消减作用通常不如相同大小的油膜轴承明显，给转子抵抗干扰、稳定运行带来一些麻烦。目前，在一些微小的高速转子-磁力轴承场合，如医疗器械、航空设备和小型精密机床等，无需增加其它辅助设施，磁力轴承可以满足正常运行要求；在一些中型透平刚性转子-磁力轴承系统中，一般在磁力轴承外侧分别设辅助滚动轴承，在正常运转中，辅助轴承与转子不接触，但间隙值小于磁力轴承与转子间的间隙值，辅助轴承与刚性轴承座之间设一定厚度的弹性元件，使辅助轴承也有了一定的耐冲击性和阻尼作用，这样在开停机及转子受较大冲击载荷时，辅助轴承就发挥作用，保护磁力轴承，并对转子的过大振动产生阻尼作用；对大中型挠性转子，不仅要求在磁力轴承外侧分别设辅助轴承，一般还在转子中间设置辅助轴承，以保护磁力轴承，阻碍转子过大振动。这些是阻碍磁力轴承广泛应用的不利因素之一。
5 应用举例分析
某石化公司2008年引进的一套膨胀机-压缩机组，运行功率约600kW，采用主动磁力轴承。该转子质量约28kg，转子长度约700mm，转子的一端为膨胀机一级叶轮，另一端为压缩机一级叶轮，转子运行转速范围0～33900r/min。该转子的两个径向磁力轴承位于两个叶轮之间，均采用单输入单输出控制回路，即两轴承的交叉刚度系数均为0，单个径向轴承能产生的最大磁力约1300N。
先进行转子系统的不平衡响应分析。经计算该转子阻尼状态下的第一阶和第二阶刚性体临界转速的放大系数AF均小于2.5，临界转速效应不明显，按API规定，其刚性不平衡响应分析合格。接着分析一阶弯曲振型，其一阶弯曲临界转速（有阻尼）的振动频率为698Hz，可以计算出：与最大连续操作转速538Hz的避开裕度SM为 (698-538)/538=29.7%。而API要求最小避开裕度的计算方法如下［3］ ：
先计算出该临界转速下的放大系数为AF=58.1，其值远大于2.5，且该临界转速大于其工作最大连续转速，则避开裕度应不小于式（3）的计算值或26%：
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ＳＭ＝10+17[1-1/(AF-1.5)]=26.7% (3)
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以上两者取小值，即避开裕度应不小于26%。该转子计算的避开裕度为29.7%，大于标准要求值26%，显然转子的一阶弯曲临界转速实际避开裕度满足标准的要求。
综上所述，该转子的不平衡响应分析在整个工作转速范围内合格。
再对转子系统的稳定性进行分析，分别计算出两个径向轴承在操作转速范围内的对数衰减率δf，其中在0转速和跳闸转速33900 r/min下两轴承控制回路对转子的对数衰减率见表1。
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表 1 两轴承控制回路对转子的对数衰减率
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0 r/min 且 Kxy =0
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轴承 1
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轴承 2
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特征值频率/Hz
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对数衰减率/δ f
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特征值频率/Hz
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对数衰减率/δ f
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195.0
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5.42
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189.4
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5.72
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596.1
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0.04
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596.1
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0.04
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33900 r/min 且 Kxy =0
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76.5
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2.74
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78.1
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4.63
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211.7
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3.44
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193.2
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3.51
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510.4
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0.01
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510.3
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0.01
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680.0
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0.04
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680.0
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0.04
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表1显示，该转子系统的刚体型振动的对数衰减率较大，使转子恢复稳定性能力较强，而一阶弯曲振动对数衰减率小于0.1，使转子恢复稳定性能力不满足标准的要求。这是磁力轴承对转子的阻尼作用较小造成的，于是在磁力轴承外侧分别设置一个滚动径向轴承。
目前，该套机组已投入正式运行，从运行结果看，在两个磁力轴承处，转子在工作转速范围内的振动数值均控制在3～8μm范围内，转子一直稳定运行。
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5 结论
1） 主动磁力轴承与同等液体动压轴承比，气隙较大，可以避免液体动压轴承强迫转子绕其形心旋转、对转子动平衡精度很敏感的缺点，磁力轴承和运转中的转子不接触，可以实现转子高速下的“自动对中”特性，转子能自动调整到绕其质心旋转，消除转子动不平衡。
2） 主动磁力轴承对转子的阻尼作用小，对转子涡动的恢复稳定能力较差。可通过用磁力轴承控制同步过滤器补偿、增设阻尼型滚动轴承等方式来有效抑制转子的振动。
3） 从转子动力学这方面看，国内当前磁力轴承的开发、应用可以借鉴国外磁力轴承的一些先进控制技术和经验，包括考虑磁力轴承的负刚度、传感器与轴承的不协调、电磁控制的频率限制和转子的陀螺效应等影响因素。
参 考 文 献
[1] SKF公司相关产品资料, 2010.
[2] 钟一谔，何衍宗，王正，等. 转子动力学［M］. 清华大学出版社，1987，11.
[3] Axial and Centrifugal Compressors and Expander-compressors for Petroleum, Chemical and Gas Industry Services［S］. API617, 7th Edition/July 2002.
[4] 万金贵，汪希平，等. 基于ANSYS的磁悬浮轴承转子系统的动力学特性研究［J］. 轴承，2010（6）：1-5.
[5] G.施韦策，等. 主动磁力轴承基础、性能及应用/虞烈，袁崇军译［M］. 新时代出版社，1997.03.
[6] 胡业发. 磁力轴承的基础理论与应用[M].机械工业出版社，2006.
[7] 姚大坤，黄文虎，邹经湘. 滑动轴承油膜刚度参数的识别［J］. 动力工程，2005（4）：483-486.
[8] 温诗铸，黄 平. 摩擦学原理［M］. 清华大学出版社，
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